Sua Altezza

Parliamo di geometria euclidea, quella che si studia a scuola. In particolare, parliamo di triangoli, ancora più in particolare di triangoli rettangoli.

Dalla scuola, ricordiamo che, dette a, b e c le lunghezze dei tre lati di un triangolo rettangolo, se a < b < c vale: a² + b² = c².

Non tutti i triangoli rettangoli hanno lati di lunghezza intera, ma alcuni sì. Chiameremo questi "triangoli (rettangoli) pitagorici".

Esempi, i triangoli i cui lati hanno lunghezze:

• 3, 4, 5
• 5, 12, 13
• 7, 24, 25
• 11, 60, 61

e tanti altri.

Consideriamo adesso le tre altezze di un triangolo rettangolo. Banalmente, l'altezza relativa a un cateto è l'altro cateto, quindi in un triangolo pitagorico queste due altezze sono numeri interi. E l'altezza relativa all'ipotenusa? Innanzi tutto, vediamo come calcolarla. Poiché sappiamo (sempre dai ricordi scolastici) che l'area di un triangolo è data da: "base per altezza diviso due", nel caso di triangoli rettangoli è piuttosto semplice calcolarne l'area. Basta moltiplicare fra loro le misure dei due cateti e dividere per due. Osserviamo che, prendendo come base l'ipotenusa (cioè "sdraiando il nostro triangolo sulla pancia"), anche l'ipotenusa (c) motiplicata per l'altezza relativa (che chiameremo h) diviso due deve dare lo stesso risultato (quello che si ottiene moltiplicando i due cateti e dividendo il prodotto per due). Quindi scriviamo:

(a * b) / 2 = (c * h) / 2

Questo ci consente, se conosciamo a, b e c, di ricavare h:

h = (a * b) / c

Riprendendo gli esempi sopra riportati, vediamo che in nessuno di quei casi h è un numero intero, anche se a, b e c sono interi.

• 3, 4, 5         h = 3 * 4 / 5 = 2,4
• 5, 12, 13     h = 5 * 12 / 13 = 4,615384615...
• 7, 24, 25     h = 7 * 24 / 25 = 6,72
• 11, 60, 61   h = 11 * 60 / 61 = 10,819672131...

Allora ci chiediamo: esistono triangoli rettangoli pitagorici (ossia in cui le lunghezze dei tre lati a, b, c sono numeri interi) in cui anche l'altezza rispetto all'ipotenusa (h) sia un numero intero?

Osserviamo innanzi tutto che, dato un triangolo rettangolo coi lati aventi misure a, b, c, è possibile trovare un altro triangolo rettangolo moltiplicando per uno stesso numero (k) le lunghezze dei tre lati (la semplice dimostrazione è lasciata al lettore). 

Osserviamo infine che, applicando la formuletta per trovare l'altezza relativa all'ipotenusa (chiamiamola h') del nuovo triangolo si ha:

h' = (a' * b') / c' = (k*a) * (k*b) / (k*c) = (k * a * b) / c

Se scegliamo k = c otteniamo:

h' = (c * a * b) / c = a * b

che, essendo il prodotto di due numeri interi è intero.

Abbiamo così dimostrato che esistono (infiniti) triangoli rettangoli pitagorici che hanno tutte e tre le lunghezze delle altezze (rispetto ai tre lati) espresse da numeri interi. Abbiamo inoltre mostrato come costruire tali triangoli, a partire da un qualsiasi triangolo rettangolo pitagorico.

Riprendiamo gli esempi e facciamo il "gioco" appena descritto.

• 3, 4, 5 moltiplichiamo per 5 e otteniamo il nuovo triangolo rettangolo: 15, 20, 25. La sua altezza rispetto all'ipotenusa è: 
• h' = 15 * 20 / 25 = 12
• 5, 12, 13 moltiplichiamo per 13 e otteniamo il nuovo triangolo rettangolo: 65, 156, 169. La sua altezza rispetto all'ipotenusa è: 
• h' = 65 * 156 / 169 = 60
• 7, 24, 25 moltiplichiamo per 25 e otteniamo il nuovo triangolo rettangolo: 175, 600, 625. La sua altezza rispetto all'ipotenusa è: 
• h' = 175 * 600 / 625 = 168
• 11, 60, 61 moltiplichiamo per 61 e otteniamo il nuovo triangolo rettangolo: 671, 3660, 3721. La sua altezza rispetto all'ipotenusa è: 
• h' = 671 * 3660 / 3721 = 660.

Se vi gira la testa, nella prossima versione metto i disegnini.