Rieccomi

 Rieccoci, anzi rieccomi.

Dove eravamo rimasti?

Non lo so. La novità più importante in questo mio periodo di silenzio è stata l'infarto.

Già, all'inizio di settembre ho sentito quel dolore, che non passava. E quella giovane dottoressa del PPS ha fatto il test specifico e ha diagnosticato giusto.

Solo una mezz'oretta di attesa dell'ambulanza, altri 40 minuri di viaggio col "sismografo" attaccato, l'arrivo con la sirena al Pronto Soccorso del Grande Ospedale, l'ingresso quasi immediato nella Sala Operatoria che mi stava aspettando.

La procedura, tutta da sveglio. A parte il fastidio per l'anestesia locale al polso, poi la cannula infilata fino all'aorta, l'attrezzo infernale per la mappatura delle cotonarie. Due stent installati. Infine il ricovero.

UTIC. Terapia Intensiva Coronarica. Dopo due o tre giorni ero già in piedi. Il decorso è andato bene, tanto che sono qui a scriverne. A distanza di quasi sei mesi, dodici specialità medicinali mi fanno compagnia durante il giorno, con sette appuntamenti quotidiani, dalle 7 di mattina alle 22. C'è di peggio. Posso fare una vita quasi normale. Esco, cerco di camminare molto, tempo permettendo. Cerco di non arrabiarmi, umani permettendo. Conosco a memoria tutti i farmacisti, e devo dire che le farmaciste sono più simpatiche. Faccio il buffone più di prima, mi tolgo molti sassolini dalle scarpe. Roba così.

Venerdì altre analisi. Poi altre visite, Tutto sotto controllo. Almeno spero.

Fra tanta gente

 In mezzo a tanta gente non si sentono i suoni più importanti: il canto degli uccelli, lo stormir delle fronde, il battito del cuore. Irregolare, costante.

Fuga e fughe

 Serve uno spazio in cui annotare i propri pensieri, lontano dalla chiacchiere e dalla quotidianità. Sono rimasto assente, ma non ho dimenticato. Torno a casa.

Maturità

 Il mio esame di maturità, la seconda prova scritta, di Greco, una versione impossibile, il membro interno (la prof. di Greco e Latino) che ci suggerisce di nascosto la versione sbagliata. Non me lo sono dimenticato e non me lo dimenticherò. E poi all'orale il Presidente che chiedeva a tutti Trigonometria, che non era nel programma. Altro che tesina e colloquio orale!

E quello interrogato dopo di me, il quale, alla solita domanda che il Presidente rivolgeva a tutti "Quale materia introdurresti nel nuovo ordinamento del Liceo?" rispose: "La Scaccologia". Non fa ridere, se non si sa che il suddetto studente aveva come attività principale durante l'anno quella di scaccolarsi compulsivamente il naso.

Io invece avevo risposto seriosamente: "La Psicologia".

L'uccelletto

È tornato. L'uccelletto buffo che c'era l'anno scorso sul tetto della casa di fronte è tornato. In realtà, non sono sicuro se sia esattamente lui, o uno della sua specie. Però canta allo stesso modo. Per me è lo stesso. L'anno scorso ho speso parecchio tempo, online e offline, a cercare di identificare la specie a cui appartiene l'uccelletto, solo in base al suo particolare modo di cantare. Sì perché il maledetto uccelletto non si fa vedere, se non piuttosto fugacemente quando vola via. O forse io sono troppo cecato per riuscire a vederlo bene.

L'anno scorso, però, la situazione era completamente differente. Non avevo grosse preoccupazioni, e quindi potevo dedicare una parte considerevole del mio tempo alla ricerca di una classificazione dell'uccelletto. Quest'anno -forse- posso dedicare alle mie ricerche più o meno lo stesso tempo che ho sprecato l'anno scorso, ma per motivi diversi.

Nel frattempo lui è là, a ricordarmi -certo inconsapevolmente- che la vita continua e che la realtà ha sempre ragione.

Negativo

E così non ci andrò. Non andrò a quell'appuntamento, non guarderò ancora una volta i miei sensi di colpa dritto negli occhi.

Avevo sentito qualcosa di strano già dal momento in cui me l'aveva proposto, per telefono. "il 14 è il mio compleanno, vieni a pranzo con me?". Come si fa a dire di no a una donna, a una persona, a un essere umano che hai tenuto in braccio quando era completamente sotto la tua protezione. E forse lo è ancora.

E invece nella vita reale, quella vissuta fuori dai film e dai sogni, ci sono contrattempi, ostacoli. Roba che ti impedisce di prendere la macchina, e poi il treno, e poi andare a incontrarla, e parlare, con le parole che si affollano, lasciando uscire sempre le più inutili per prime. Sempre guardandosi negli occhi di sfuggita, sempre con quell'adorazione che è naturale in questi casi, ma un po' è figlia dei sensi di colpa che uno si porta dentro per aver deciso che qualcun altro dovesse a un certo punto esistere.

Figlia, sì. Ecco un altro senso di colpa da aggiungere a quell'altra montagna, che non potrò mai più scalare.

di rette nel piano e triangoli

Torniamo sull'argomento: Geometria (elementare).

Diamo per scontato di sapere che cosa è un piano (secondo la Geometria elementare), una retta, un punto.

Osserviamo che, prese tre rette (distinte) in un piano, esse possono essere:

• tutte parallele fra loro: è un caso particolare che al fine del nostro discorso non è interessante, quindi lo tralasciamo
• due di esse (chiamiamole: a, b) parallele fra loro e l'altra (c) non parallela a quelle due: in questo caso, la retta c incontra la retta a in un punto e la retta b in un altro punto. Il piano risulta diviso in 6 regioni (esattamente: 4 angoli, delimitati ciascuno da 2 semirette, e 2 regioni di altro tipo, delimitate ciascuna da 2 semirette parallele e 1 segmento - disegnare per credere). Anche questo caso lo mettiamo da parte perché non interessa nel discorso seguente
• nessuna retta è parallela a nessun'altra di quelle che stiamo considerando: in questo caso, ci sono due sotto-casi
• le 3 rette si incontrano a due a due in 3 punti differenti del piano, e delineano un triangolo (con i lati prolungati all'infinito), chiamiamolo "caso T"
• le 3 rette si incontrano tutte nello stesso punto, e quindi fanno parte di un fascio di rette (quello avente centro nel punto d'incontro), chiamiamolo "caso F"

Ha senso chiedersi se la "quantità" di terne di rette (scelte a caso fra tutte le rette del piano) che si trovano nel "caso T" sia maggiore, minore o uguale a quelle che si trovano nel "caso F".

Più precisamente: consideriamo l'insieme di tutte le possibili terne di rette distinte nel piano; da questo insieme togliamo le terne che contengono almeno due rette parallele fra loro. Questo è il nostro universo di osservazione U. Dividiamolo in due sottoinsiemi: in uno mettiamo tutte e sole le terne di rette di U che ricadono nel "caso T" (cioè quelle che delineano un triangolo) e lo chiamiamo "insieme T", nell'altro mettiamo tutte e sole le terne di rette di U che ricadono nel "caso F" (cioè si incontrano in uno steso punto, fanno parte di un fascio di rette).

Domanda: la cardinalità dell'insieme T è maggiore, minore o uguale alla cardinalità dell'insieme F? Equivalentemente: è possibile mettere in corrispondenza biunivoca gli elementi dei due insiemi F e T (cioè le terne di rette che li compongono)? Oppure è possibile mettere in corrispondenza biunivoca tutti gli elementi di uno dei due insiemi (F o T) con gli elementi di un sottoinsieme proprio dell'altro? In tal caso, quali terne resterebbero escluse dalla corrispondenza e secondo quale criterio?

No, finora non ho trovato risposta a queste domande.

la Matematica è un pesce

La Matematica è un pesce e la Geometria una sua "branchia" (come disse tanti anni fa un mio studente).

La Geometria che si studia a scuola risulta spesso ostica, noiosa, anzi "pallosa". Certo, ci sono eccezioni, dovute soprattutto a professori che sanno rendere più appetibile la materia...

Per esempio: a che serve la Geometria? la usiamo nella vita di tutti i giorni?

La Geometria dell'occhio.

Si potrebbe iniziare a parlare di come l'occhio percepisce il mondo esterno: secondo le leggi della Geometria Proiettiva! Ci si può aiutare con uno schemino di come le immagini si formano sulla retina, un accenno a che cosa succede se il fuoco della lente cade davanti o dietro alla retina... Obiezione: ma quella è Fisica! Ottica! Certo, cari, ma senza la Geometria Proiettiva quella Fisica, quell'Ottica potrebbero tranquillamente chiudere bottega.

Forme geometriche comuni.

Poi si potrebbe parlare delle forme (geometriche): quali conosciamo? Il cerchio, il quadrato, il rettangolo dovrebbero essere noti a tutti. Il mondo circostante è pieno di cerchi (approssimativi, non perfettamente geometrici, ma pur sempre riconosciuti come cerchi: le automobili hanno "cerchioni", per esempio), rettangoli (per esempio le finestre), e così via. Si possono fare osservazioni sulle forme convesse (e quelle non convesse): che cosa succede a un rettangolo se "mordiamo via" un triangolo? Che forma è una ciambella?  La Luna nel cielo delle notti d'estate non sempre (quasi mai) è un cerchio d'argento: lo sanno bene i cani e i lupi, che in quel caso "cantano" in maniera tipica. Che forma è la falce di luna? Convessa? Uhm... non credo, perché...

Cambiare forma alla materia.

Ancora: si può prendere una striscia di carta e la si può trasformare in una specie di bracciale, incollandone le estremità. In questo caso, possiamo colorare le due superfici (interna e esterna) con due colori diversi. Se tagliamo con le forbici il nostro bracciale per lungo, senza attraversare i bordi, otterremo due bracciali più sottili e ben distinti.

Se invece, prima di incollare, diamo una torsione a una delle due estremità della nostra striscia di carta, otteniamo ancora una specie di bracciale, ma diverso dal precedente. In Geometria si chiama Nastro di Moebius, ma non importa il nome. Cominciamo a colorarne la superficie e... scopriremo che possiamo colorarla con un solo colore, perché non c'è un "dentro" e un "fuori". Se tagliamo questo bracciale con le forbici come abbiamo fatto con l'altro, per lungo, senza attraversare i bordi, otterremo... Se non lo sapete, ve lo lascio scoprire!

Finalino.

Vi dico solo che anche la Geometria è un pesce, e la Topologia una sua "branchia". La Topologia non studia i topi, ma i "luoghi" in senso geometrico, e deriva dalla parola greca "topos" che vuol dire "luogo". Il Nastro di Moebius e la falce di Luna vivono nella Topologia, un luogo fantastico (in molti sensi).

(nota: questa "lezioncina" è solo una bozza, mancano per esempio le figure! e magari aggiungerò qualche altro argomento)

Corollari - 2

Altri corollari al Teorema di Pitagora:

1. In un triangolo ottusangolo, l'area del quadrato costruito sul lato opposto all'angolo ottuso è maggiore della somma delle aree dei quadrati costruiti sugli altri due lati

2. In un triangolo acutangolo, l'area del quadrato costruito su un lato è minore della somma delle aree dei quadrati costruiti sugli altri due lati

La facile dimostrazione è lasciata al lettore.

I miei Capodanni

Per me il Capodanno è quasi un giorno come un altro.

Spesso, negli ultimi 20 anni lavorativi, mi sono ritrovato il 31 dicembre o il 1° gennaio sul posto di lavoro insieme con colleghi e colleghe: si festeggiava come possibile, sperando di poter tornare presto a casa.

I Capodanni che un po' ricordo sono quelli dell'infanzia, in cui mio zio regolarmente comprava i "botti" e altrettanto regolarmente si faceva male a una mano per spararli dalla finestra della casa di nonna.

Poi ne ricordo un paio, quando avevo circa 30 anni.

Uno passato in ottima compagnia con (pochi) carissimi amici e la mia ragazza di allora, in casa di uno di loro: andammo a dormire alle 7 della mattina del 1° gennaio.

Un altro quando andai (da single) a trovare una coppia di amici che mi avevano invitato sul Lago d'Iseo. Passammo tutta la notte fra una discoteca e l'altra (facevano parte della compagnia con cui a volte andavo in discoteca), soprattutto per bere e fare casino, e un po' anche per ballare qualche lento con la ragazza dei due (lui no, grande amico ma non ci avrei ballato un lento).

Quest'anno niente: sono ancora mezzo influenzato e penso che non andrò nemmeno a vedere lo spettacolo col DJ che il Comune ha organizzato in piazza.

Farò meglio l'anno prossimo.

Sogni e film

Il mio subconscio (subcoscio? quella roba lì) mi manda certi sogni che sembrano film. Stanotte era un "noir". Lei faceva un sacco di cose complicate, c'erano di mezzo i suoi parenti, che volevano farla fuori. Alla fine lei scopriva di avere una "pistola" che ipnotizzava le persone, facendole agire secondo la sua volontà.

Mi sono svegliato chiedendomi: ma "lei" chi? Boh?!

Problemi grandi e piccoli

Quattro mesi fa, il 24 agosto, ero in ospedale a Perugia, per un motivo tutto sommato piuttosto banale.

Quella notte ci fu il terremoto, a qualche decina di chilometri, e lassù al quinto piano si sentì benissimo la scossa. Il mio compagno di stanza, un ragazzone ricoverato per un incidente durante una partita di calcio, era spaventato: gli dissi che non c'era di che preoccuparsi, tutto sommato se fosse successo qualcosa eravamo già in ospedale!

Il giorno dopo, mentre aspettavo nel corridoio di radiologia il mio turno per una TAC, vidi arrivare in eliambulanza una delle persone colpite dal terremoto. Stava così male che i medici non sapevano da dove iniziare a fare le radiografie.

Fu come un'illuminazione, per me: ci si preoccupa spesso per piccole cose e si dimentica che moltissime persone stanno davvero male.

Per fortuna, la vita ogni tanto ce lo ricorda.

Coincidea

Non credo alle coincidenze. O forse sì.

Ero di cattivo umore per una serie di piccoli contrattempi e per qualche strana sensazione legata alla salute. Per caso (?) mi scrive un'amica lontana, e da quattro parole iniziali abbiamo cominciato uno di quei discorsi che durano un pomeriggio intero, o tutta la vita.

Non c'è niente da fare: certe persone riescono a cambiarmi le giornate. Loro forse non lo sanno, ma per me sono perfette così. Come Dee scese silenziosamente dall'Olimpo.

Sogni zodiacali

Leone. È il segno perfetto, l'unico per cui potrei essere l'adoratore perfetto. L'unico problema è trovarne una libera, di donna del Leone, perché loro, quando trovano qualcuno che va bene, non hanno difficoltà a sistemarsi.

Ariete. Si viaggia di solito sui binari dell'intesa, più raramente su quelli del fraintendimento completo: non c'è  via di mezzo. Quante amiche ho avuto ed ho ancora dell'Ariete! Qualcuna deve avermi anche amato, forse, ma io come al solito guardavo altrove.

Vergine. Statisticamente, sono le donne con cui ho trovato maggiore corrispondenza di sentimenti. Forse perché siamo diversi, in parte complementari. Ma solo in parte. Strano e ricorrente connubio.

Congettura delle Coincidenze, o della Strada con tre auto

Dati due eventi indipendenti della stessa classe di eventi, la probabilità che i due eventi si verifichino contemporaneamente (nello stesso luogo e nello stesso tempo) è "molto alta".

Esempio: data una autostrada a due corsie per ogni senso di marcia, la probabilità che almeno tre auto, due che procedono in senso opposto e una che sorpassa, si trovino nello stesso momento nello stesso punto della autostrada è "molto alta".

Trasformare questa Congettura in Teorema vorrebbe dire determinare un valore di probabilità al di sopra del quale l'assunto è vero.

Esempio delle tre auto: si trovano in quella condizione almeno nel 53% dei casi.

Gaetano

Non lo conoscevo di persona, ma in un paesino di cinquemila abitanti tutti si conoscono. Gestiva un negozietto in cui vendeva piccoli monili, spille, collane, che costruiva con le sue mani. Molte volte lo avevo visto spingere la carrozzella col figlio adolescente gravemente handicappato per le vie del paese, nelle giornate di sole. Per il resto, quel suo amato figlio stava con lui nel negozio. Sembrava più vecchio di me, e invece aveva solo sessant'anni: di sicuro una vita di sacrifici per il figlio lo aveva segnato profondamente. Pochi mesi fa chiuse improvvisamente il negozio e non si vide più in giro. Si sparse la voce che era malato. Molti si chiesero che fine avrebbe fatto quel figlio. Ieri se n'è andato, in grazia e in silenzio, così come era vissuto. Spero che l'umile incerta preghiera di un miscredente come me gli abbia comunque fatto piacere. Ciao Gaetano. 

Morfismi

Ho accorciato barba e baffi, e adesso sembro Furio Zoccano di Bianco rosso e Verdone (quello della telefonata all'ACI), solo un po' più attempato.

Aneddoto bancario

Molti ma molti anni fa, dopo aver superato un regolare concorso, fui assunto in una Grande Banca di Torino (non il Sanpaolo, quell'altra). Con me furono assunti anche una ventina di presunti informatici, con la qualifica di analisti-programmatori. 

Come d'uso in questi casi, il Grande Capo ci riunì e ci fece un discorsetto. Fra le altre cose, ricordo che disse che il nostro lavoro consisteva nel "maneggiare i Soldi degli Altri" (le maiuscole non sono casuali). Essendo a Torino, "gli Altri" erano soprattutto una nota Fabbrica di Auto, nonché un nugolo di piccoli risparmiatori. Si notava in tutto il discorso un senso di rispetto reverenziale, una specie di adorazione per quei Soldi e anche per gli Altri. Ci fece capire che da noi si aspettava la massima onestà e devozione per quei Soldi. Altrimenti era meglio che cambiassimo lavoro. Non saremmo stati perdonati. In cambio ci offrì uno stipendio sopra la media, piccole agevolazioni e un piano di training di tutto rispetto. 

Qualche tempo dopo fui coinvolto nel progetto della gestione della Tesoreria della Regione e subito dopo della Tesoreria Titoli. Queste cose mi sono tornate alla mente leggendo le vicende delle azioni bancarie di cui parla la cronaca in questi giorni. Per noi il deposito Titoli era una specie di Sacra Cassaforte in cui si custodivano i Valori degli Altri. La delicata operazione del Taglio delle Cedole, a scadenza, era eseguita da personale esperto, a scanso di errori che avrebbero potuto danneggiare i clienti. Le procedure informatiche seguivano meticolosamente queste operazioni. 

Tutte cose che si fanno anche oggi, naturalmente, e che si facevano (e forse si continuano a fare) anche in quelle quattro povere Banche di cui tanto si parla. Anche oggi che i Titoli si sono smaterializzati, e che certe operazioni "alla Wall Street" (i "future", i "bond", i "derivati") sono state messe alla portata del pubblico minuto, di quei clienti della Banca che poco e niente sanno del "mare" della Finanza, delle sue regole e dei "pesci" che ci nuotano. 

Quello che è cambiato radicalmente, specie per le Banche di dimensioni limitate, è il rapporto con la clientela. Una volta c'erano i contadini o gli allevatori che mettevano al sicuro il surplus di una stagione buona, in vista di tempi peggiori, che puntualmente sarebbero arrivati. 

Ora al cliente di Banca bisogna vendere "prodotti" sempre più eterei nella definizione e intrinsecamente ambigui. Non ci sono più i Soldi degli Altri da custodire. Ci sono contratti che nel dare-avere non offrono niente di sicuro. Le responsabilità si spostano sul cliente. Non c'è quasi più la "raccolta" in qualche modo garantita, sembrano startup che potrebbero fallire da un momento all'altro. E a volte falliscono. Senza rispondere a responsabilità che formalmente non si sono mai assunte.

Sua Altezza

Parliamo di geometria euclidea, quella che si studia a scuola. In particolare, parliamo di triangoli, ancora più in particolare di triangoli rettangoli.

Dalla scuola, ricordiamo che, dette a, b e c le lunghezze dei tre lati di un triangolo rettangolo, se a < b < c vale: a² + b² = c².

Non tutti i triangoli rettangoli hanno lati di lunghezza intera, ma alcuni sì. Chiameremo questi "triangoli (rettangoli) pitagorici".

Esempi, i triangoli i cui lati hanno lunghezze:

• 3, 4, 5
• 5, 12, 13
• 7, 24, 25
• 11, 60, 61

e tanti altri.

Consideriamo adesso le tre altezze di un triangolo rettangolo. Banalmente, l'altezza relativa a un cateto è l'altro cateto, quindi in un triangolo pitagorico queste due altezze sono numeri interi. E l'altezza relativa all'ipotenusa? Innanzi tutto, vediamo come calcolarla. Poiché sappiamo (sempre dai ricordi scolastici) che l'area di un triangolo è data da: "base per altezza diviso due", nel caso di triangoli rettangoli è piuttosto semplice calcolarne l'area. Basta moltiplicare fra loro le misure dei due cateti e dividere per due. Osserviamo che, prendendo come base l'ipotenusa (cioè "sdraiando il nostro triangolo sulla pancia"), anche l'ipotenusa (c) motiplicata per l'altezza relativa (che chiameremo h) diviso due deve dare lo stesso risultato (quello che si ottiene moltiplicando i due cateti e dividendo il prodotto per due). Quindi scriviamo:

(a * b) / 2 = (c * h) / 2

Questo ci consente, se conosciamo a, b e c, di ricavare h:

h = (a * b) / c

Riprendendo gli esempi sopra riportati, vediamo che in nessuno di quei casi h è un numero intero, anche se a, b e c sono interi.

• 3, 4, 5         h = 3 * 4 / 5 = 2,4
• 5, 12, 13     h = 5 * 12 / 13 = 4,615384615...
• 7, 24, 25     h = 7 * 24 / 25 = 6,72
• 11, 60, 61   h = 11 * 60 / 61 = 10,819672131...

Allora ci chiediamo: esistono triangoli rettangoli pitagorici (ossia in cui le lunghezze dei tre lati a, b, c sono numeri interi) in cui anche l'altezza rispetto all'ipotenusa (h) sia un numero intero?

Osserviamo innanzi tutto che, dato un triangolo rettangolo coi lati aventi misure a, b, c, è possibile trovare un altro triangolo rettangolo moltiplicando per uno stesso numero (k) le lunghezze dei tre lati (la semplice dimostrazione è lasciata al lettore). 

Osserviamo infine che, applicando la formuletta per trovare l'altezza relativa all'ipotenusa (chiamiamola h') del nuovo triangolo si ha:

h' = (a' * b') / c' = (k*a) * (k*b) / (k*c) = (k * a * b) / c

Se scegliamo k = c otteniamo:

h' = (c * a * b) / c = a * b

che, essendo il prodotto di due numeri interi è intero.

Abbiamo così dimostrato che esistono (infiniti) triangoli rettangoli pitagorici che hanno tutte e tre le lunghezze delle altezze (rispetto ai tre lati) espresse da numeri interi. Abbiamo inoltre mostrato come costruire tali triangoli, a partire da un qualsiasi triangolo rettangolo pitagorico.

Riprendiamo gli esempi e facciamo il "gioco" appena descritto.

• 3, 4, 5 moltiplichiamo per 5 e otteniamo il nuovo triangolo rettangolo: 15, 20, 25. La sua altezza rispetto all'ipotenusa è: 
• h' = 15 * 20 / 25 = 12
• 5, 12, 13 moltiplichiamo per 13 e otteniamo il nuovo triangolo rettangolo: 65, 156, 169. La sua altezza rispetto all'ipotenusa è: 
• h' = 65 * 156 / 169 = 60
• 7, 24, 25 moltiplichiamo per 25 e otteniamo il nuovo triangolo rettangolo: 175, 600, 625. La sua altezza rispetto all'ipotenusa è: 
• h' = 175 * 600 / 625 = 168
• 11, 60, 61 moltiplichiamo per 61 e otteniamo il nuovo triangolo rettangolo: 671, 3660, 3721. La sua altezza rispetto all'ipotenusa è: 
• h' = 671 * 3660 / 3721 = 660.

Se vi gira la testa, nella prossima versione metto i disegnini.

Parabola

Dio (chiamiamolo così per brevità) un pomeriggio ebbe voglia di fumare la pipa. Seduto in poltrona, prese il tabacco, caricò la sua pipa, prese un fiammifero e FFUMM! lo accese. Dentro la fiamma di quel fiammifero c'è tutto l'Universo. Figurati se lui si accorge che noi esistiamo!

Oltre tutto, quando avrà finito di accendere la pipa, soffierà sulla fiamma del fiammifero e addio Universo e tutto quanto.