Un anno fa

Un anno fa ero al quinto piano dell'Ospedale, reparto Chirurgia d'Urgenza, in attesa di una decisione da parte dei medici. Scese la sera, poi la notte. Le consuete procedure ospedaliere erano ormai concluse. Nel letto accanto al mio c'era un giovane che, giocando a calcio, era stato colpito duramente allo zigomo: si temeva che potesse perdere un occhio, e l'indomani sarebbe stato operato.

Sembrava che ormai si potesse dormire tranquilli, o quasi. Infatti dormivo da un po', quando sentii muoversi il letto. Subito pensai che qualche infermiere fosse venuto per cambiare la flebo o prendermi la temperatura, o che ne so. Aprii un occhio: nessuno. Dopo qualche secondo il letto ricominciò a muoversi, nell'altro verso. Il ragazzo si svegliò e mi chiese: "Ma che cos'è?". Risposi: "Il terremoto!" e poi subito dopo, vedendo che era piuttosto agitato: "Tranquillo, tanto se succede qualcosa, siamo già all'Ospedale".

Il giorno dopo, mentre aspettavo in corridoio il mio turno per la TAC, vidi arrivare i primi feriti del terremoto, in eliambulanza. Ne vidi passare uno accanto a me, su una barella coperta, e sentii i medici che si consultavano su come fargli le radiografie: "E qui da dove cominciamo? Ha fratture in tutto il corpo..."

Io qualche giorno dopo ero fuori. Il ragazzo calciatore pure, per fortuna senza problemi all'occhio. I terremotati invece restarono là per non so quanto tempo.

Corollari

Oggi parliamo di Matematica.

Dalla Geometria Euclidea sappiamo che:

La somma dell'area dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa del medesimo t.r. (Teorema di Pitagora).

Da ciò discendono alcuni curiosi Corollari.

1) Corollario dei Semicerchi.
La somma delle superfici dei semicerchi aventi come diametro i cateti di un triangolo rettangolo è uguale alla superficie del semicerchio avente come diametro l'ipotenusa del medesimo triangolo rettangolo.

Dimostrazione:
Siano a, b, c rispettivamente le lunghezze dei due cateti e dell'ipotenusa del t.r. che stiamo considerando.
Dal T. di Pitagora sappiamo che: a² + b² = c²
 La superficie S di un semicerchio di diametro d è data da:

S = (π (d/2)² )/2 = π/8 d²

 Chiamando A, B, C le superfici dei tre semicerchi aventi come diametro i tre lati del t.r. otteniamo:
A = π/8 a²    B = π/8 b²    C = π/8 c²
 Quindi A + B = π/8 (a² + b²) = π/8 c² = C
 C.V.D.

2) Corollario dei Triangoli Equilateri.
La somma delle superfici dei triangoli equilateri aventi ciascuno come lato rispettivamente i due cateti di un triangolo rettangolo è uguale alla superficie del triangolo equilatero avente come lato l'ipotenusa del medesimo triangolo rettangolo.

Dimostrazione:
L'altezza di un triangolo equilatero è h = √3 l dove l è il suo lato.
Di conseguenza, la sua superficie è: S = √3/2 l²
 Chiamando A, B, C le superfici dei tre triangoli equilateri aventi come diametro i tre lati del t.r. otteniamo:
A = √3/2 a²    B = √3/2 b²    C = √3/2 c²
 Quindi A + B = √3/2 (a² + b²) = √3/2 c² = C
 C.V.D.

3) Corollario dei Poligoni Regolari.
La somma delle superfici dei due poligoni regolari di n lati aventi ciascuno come lato rispettivamente i due cateti di un triangolo rettangolo è uguale alla superficie del poligono regolare di n lati avente come lato l'ipotenusa del medesimo triangolo rettangolo.

Dimostrazione:

Del tutto analoga al Teorema 2, tenendo presente che la costante che moltiplica a², b² e c² stavolta è la costante d'area φ_n (una definizione qui) del poligono regolare di n lati.

4) Corollario dei Poligoni Simili.
Considerando: un poligono A qualsiasi (anche irregolare) avente come uno dei suoi lati un cateto di un triangolo rettangolo, un poligono B simile ad A avente come lato omologo l'altro cateto, un terzo poligono C simile ad A (e B) avente come lato omologo l'ipotenusa del medesimo triangolo rettangolo, la superficie di C  S(C) = S(A) + S(B).

Questa dimostrazione richiede un ulteriore Teorema (detto T. di zap*) che afferma che:
Dati due poligoni (anche irregolari) X e Y simili tra loro, il rapporto fra le rispettive aree S(X) / S(Y) è uguale al rapporto fra i quadrati di due qualsiasi lati omologhi dei due poligoni: l² / m²

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*zap = il proprietario di questo blog