domenica 9 ottobre 2011

i Numeri Ennesimi

Premessa

Stavolta vorrei proporre un argomento razionale (anzi, "naturale"!): alcune proprietà dei numeri interi positivi (conosciuti in matematica come "numeri naturali").

Non so se le mie elucubrazioni sono originali o se sono già state affrontate da qualcuno. In tal caso, non ne sono a conoscenza: eventualmente, segnalatelo nei commenti.

Ok, messe le mani avanti, veniamo al dunque.

Introduzione

In tutto ciò che segue, "numero" sta per "numero intero maggiore o uguale a zero", ove non diversamente indicato.

i numeri primi
Tutti sappiamo, perché ce lo insegnano a scuola, che esistono i cosiddetti "numeri primi", ma non tutti ricordiamo esattamente che cosa sono. Richiamando il concetto di divisione intera col resto, possiamo definire "numero primo" ogni numero che non abbia altri divisori a parte sé stesso e 1. Per esempio, 6 = 2x3, quindi 6 ha due divisori, 2 e 3 (a parte 6 e 1). Il numero 7, invece, non ha altri divisori che sé stesso e 1, quindi si dice "numero primo". I divisori di un numero diversi da quel numero stesso e da 1 si dicono "divisori propri". Per esempio, 24 ha 6 divisori propri: 2, 3, 4, 6, 8 e 12.

Possiamo quindi affermare che un numero si dice primo quando ha zero divisori propri. Nessun altro numero, a parte 1, lo divide senza lasciare resto.

nuove definizioni
A questo punto mi sono chiesto: e se definissi come "numeri secondi" quelli che hanno esattamente un divisore proprio? Certamente esistono, e sono tutti e soli i quadrati dei numeri primi (fate la prova con numeri piccoli: 4, 9, 25, 49...). Però non mi sembravano molto interessanti.

Allora sono andato avanti, e ho definito "numeri terzi" quelli che hanno esattamente due divisori propri (distinti). Qualche esempio? 6, 8, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 27... Uhm... comincia a farsi interessante... Innanzi tutto, vediamo che ci sono tutti i cubi di numeri primi (8, 27, 125...). E poi ci sono quei numeri che sono il prodotto di 2 numeri primi distinti. E niente altro. Tutto questo si dimostra, ma non voglio tediarvi con le dimostrazioni formali.

Inebriato da questi risultati, mi sono lanciato in una definizione più generale:

per ogni n intero maggiore di zero definiamo numeri "n-esimi" (o ennesimi) quei numeri che hanno esattamente n-1 divisori propri distinti


Vedremo che da questa definizione discendono alcune singolari proprietà. Ma per oggi può bastare. Il seguito, come si dice, "al prossimo numero" :)