Dalla Geometria Euclidea sappiamo che:
La somma dell'area dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa del medesimo t.r. (Teorema di Pitagora).Da ciò discendono alcuni curiosi Corollari.
1) Corollario dei Semicerchi.
La somma delle superfici dei semicerchi aventi come diametro i cateti di un triangolo rettangolo è uguale alla superficie del semicerchio avente come diametro l'ipotenusa del medesimo triangolo rettangolo.
Dimostrazione:
Siano a, b, c rispettivamente le lunghezze dei due cateti e dell'ipotenusa del t.r. che stiamo considerando.
Dal T. di Pitagora sappiamo che: a2 + b2 = c2
La superficie S di un semicerchio di diametro d è data da:
S = (π (d/2)2 )/2 = π/8 d2
Chiamando A, B, C le superfici dei tre semicerchi aventi come diametro i tre lati del t.r. otteniamo:
A = π/8 a2 B = π/8 b2 C = π/8 c2
Quindi A + B = π/8 (a2 + b2) = π/8 c2 = C
C.V.D.
2) Corollario dei Triangoli Equilateri.
La somma delle superfici dei triangoli equilateri aventi ciascuno come lato rispettivamente i due cateti di un triangolo rettangolo è uguale alla superficie del triangolo equilatero avente come lato l'ipotenusa del medesimo triangolo rettangolo.
Dimostrazione:
L'altezza di un triangolo equilatero è h = √3 l dove l è il suo lato.
Di conseguenza, la sua superficie è: S = √3/2 l2
Chiamando A, B, C le superfici dei tre triangoli equilateri aventi come diametro i tre lati del t.r. otteniamo:
A = √3/2 a2 B = √3/2 b2 C = √3/2 c2
Quindi A + B = √3/2 (a2 + b2) = √3/2 c2 = C
C.V.D.
3) Corollario dei Poligoni Regolari.
La somma delle superfici dei due poligoni regolari di n lati aventi ciascuno come lato rispettivamente i due cateti di un triangolo rettangolo è uguale alla superficie del poligono regolare di n lati avente come lato l'ipotenusa del medesimo triangolo rettangolo.
Dimostrazione:
Del tutto analoga al Teorema 2, tenendo presente che la costante che moltiplica a2, b2 e c2 stavolta è la costante d'area φn (una definizione qui) del poligono regolare di n lati.
4) Corollario dei Poligoni Simili.
Considerando: un poligono A qualsiasi (anche irregolare) avente come uno dei suoi lati un cateto di un triangolo rettangolo, un poligono B simile ad A avente come lato omologo l'altro cateto, un terzo poligono C simile ad A (e B) avente come lato omologo l'ipotenusa del medesimo triangolo rettangolo, la superficie di C S(C) = S(A) + S(B).
Questa dimostrazione richiede un ulteriore Teorema (detto T. di zap*) che afferma che:
Dati due poligoni (anche irregolari) X e Y simili tra loro, il rapporto fra le rispettive aree S(X) / S(Y) è uguale al rapporto fra i quadrati di due qualsiasi lati omologhi dei due poligoni: l2 / m2
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