Diamo per scontato di sapere che cosa è un piano (secondo la Geometria elementare), una retta, un punto.
Osserviamo che, prese tre rette (distinte) in un piano, esse possono essere:
- tutte parallele fra loro: è un caso particolare che al fine del nostro discorso non è interessante, quindi lo tralasciamo
- due di esse (chiamiamole: a, b) parallele fra loro e l'altra (c) non parallela a quelle due: in questo caso, la retta c incontra la retta a in un punto e la retta b in un altro punto. Il piano risulta diviso in 6 regioni (esattamente: 4 angoli, delimitati ciascuno da 2 semirette, e 2 regioni di altro tipo, delimitate ciascuna da 2 semirette parallele e 1 segmento - disegnare per credere). Anche questo caso lo mettiamo da parte perché non interessa nel discorso seguente
- nessuna retta è parallela a nessun'altra di quelle che stiamo considerando: in questo caso, ci sono due sotto-casi
- le 3 rette si incontrano a due a due in 3 punti differenti del piano, e delineano un triangolo (con i lati prolungati all'infinito), chiamiamolo "caso T"
- le 3 rette si incontrano tutte nello stesso punto, e quindi fanno parte di un fascio di rette (quello avente centro nel punto d'incontro), chiamiamolo "caso F"
Ha senso chiedersi se la "quantità" di terne di rette (scelte a caso fra tutte le rette del piano) che si trovano nel "caso T" sia maggiore, minore o uguale a quelle che si trovano nel "caso F".
Più precisamente: consideriamo l'insieme di tutte le possibili terne di rette distinte nel piano; da questo insieme togliamo le terne che contengono almeno due rette parallele fra loro. Questo è il nostro universo di osservazione U. Dividiamolo in due sottoinsiemi: in uno mettiamo tutte e sole le terne di rette di U che ricadono nel "caso T" (cioè quelle che delineano un triangolo) e lo chiamiamo "insieme T", nell'altro mettiamo tutte e sole le terne di rette di U che ricadono nel "caso F" (cioè si incontrano in uno steso punto, fanno parte di un fascio di rette).
Domanda: la cardinalità dell'insieme T è maggiore, minore o uguale alla cardinalità dell'insieme F? Equivalentemente: è possibile mettere in corrispondenza biunivoca gli elementi dei due insiemi F e T (cioè le terne di rette che li compongono)? Oppure è possibile mettere in corrispondenza biunivoca tutti gli elementi di uno dei due insiemi (F o T) con gli elementi di un sottoinsieme proprio dell'altro? In tal caso, quali terne resterebbero escluse dalla corrispondenza e secondo quale criterio?
No, finora non ho trovato risposta a queste domande.
